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ポアンカレ・ベンディクソンの定理とは?



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数学におけるポアンカレ・ベンディクソンの定理とは、平面上の連続力学系における軌道の大域的構造(閉軌道の存在)に関する定理である。
目次

 1 概要
 2 定理
 2.1 別の表現
 3 注
 4 応用例
 5 関連項目
概要

ポアンカレ・ベンディクソンの定理は次のような事を示している。
二次元平面上の連続力学系に於いて任意の状態空間におけるコンパクト部分集合にとどまる軌道は固定点、周期軌道、有限個の固定点からなる連結空間のいずれかである。
together with homoclinic and heteroclinic orbits connecting these.ただし、すべての固定点は孤立点でω-極限集合に漸近するとする。
従って、カオス的な挙動は3次以上の連続力学系でしか現れないことになる。
しかしながらこの定理は、1次や2次でもカオス的挙動が確認されている離散力学系に対しては適応することは出来ない。
より弱い仮定での定理はポアンカレによって不完全であるが示された。
のちにベンディクソン(1901年)がこの定理に対して完全な証明を与えた。
定理

ポアンカレ・ベンディクソンの定理にはいくつかの表現方法があるが、その一つを挙げる。
平面上の次のように定義された力学系を考える。
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