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ポアンカレの再帰性定理とは?



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ポアンカレの回帰定理(ポアンカレのかいきていり、: Poincaré's recurrence theorem)、または単に回帰定理とは、アンリ・ポアンカレ(H.Poincaré,1854-1912)により証明された力学系の定理である[1]ポアンカレの再帰定理[2][3][4]とも呼ばれる。
力学系のある状態を出発点としたときに、その時間発展は出発点といくらでも近い状態に無限回戻ってくることを主張する。
ポアンカレは天体力学三体問題の研究の中でこの定理に至り、1890年に発表した[5][6]
目次

 1 概要
 2 数学的な表現
 2.1 ハミルトン力学による導入
 2.2 定理の数学的表現
 2.3 証明の概略
 3 熱力学との関連
 4 量子力学における回帰定理
 5 脚注
 6 参考文献
 7 関連項目
概要

解析力学では力学系のひとつの状態相空間(例えば質点の位置と運動量を座標とする空間)上の点で表され、その点の近傍はその状態に近い状態の集まりを表し、回帰定理はこの相空間上の力学系に関する定理である。
簡単には、「力学系は、ある種の条件が満たされれば、その任意の初期状態に有限時間内にほぼ回帰する」[6]、「ほとんどすべての軌道が出発点の任意の近傍に無限回もどってくる」[1]、「与えられた初期条件に、いくらでも近づき、かつそれを何回でも繰返すことができる」[3]と表現される。
ここである条件、つまり回帰定理の成り立つ条件とは、広く一般的にいえば力学系が保測的(相空間内の点集合の体積が保存されること)で、その軌道が有限領域に限られていることである[3]
例えばニュートン力学の成り立つ系で等エネルギー面を動く軌道(エネルギーが保存される状態の軌道)では回帰定理が成り立つ[3]
つまり通常現実的に考え得るエネルギーの出入りのない系では回帰定理が成り立つと考えられる。
回帰定理が孤立系の現象の厳密な繰り返しを示したと解釈する人もいる[7]
だがこの解釈には2つの意味での誤解がある。
第一に、力学系は初期状態の近傍に戻るだけであり、初期状態そのものに戻るとは限らない。
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