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線型微分方程式とは?
ｳｨｷﾍﾟﾃﾞｨｱ目次へ線型微分方程式（せんけいびぶんほうていしき､linear differential equation）は､微分を用いた線型作用素（線型微分作用素）D と未知関数 y と既知関数 b を用いて- Dy = b
の形に書かれる微分方程式のこと｡線形等の用字･表記の揺れについては線型性を参照｡目次
1 概要
2 定義
├2.1 高階単独型
└2.2 1 階連立型
3 解と解空間
├3.1 基本解
└3.2 ﾛﾝｽｷｰの行列式
4 定数係数の斉次常微分方程式の解法
5 関連項目
線型微分方程式- Dy = b
は､b ≠ 0 の時､2 つの解 y1, y2 を任意に取り､その差 z = y1 − y2 を考えると､ D が線型作用素であることから- Dz = D y1 − D y2 = b − b = 0
となり､b = 0 の場合に帰着される｡
y1 = z + y2 であることを考えれば Dy = b の全ての解は Dy = b の解のうちの 1 つ（特殊解と呼ばれる）と- Dy = 0（斉次方程式という）
の解の和となる｡
したがって､線型微分方程式を解くことは特殊解を 1 つ見つける問題と､斉次方程式を解く問題に分けることができる｡
また､D が線型作用素であることから､斉次方程式の解は線型性を持ち､解同士の和や､解の定数倍も解になる｡
関数の代わりに数列を（同時に､微分の代わりに差分を）考えると､類似の概念として漸化式（差分方程式）を捉えることができる（離散化）｡
線型差分方程式と線型微分方程式の間で､特性方程式を用いる解法など､いくつかの手法を共通に用いることができる｡
注目の情報
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