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微分幾何学とは?
目次
1 微分幾何学の道具立て
2 微分位相幾何学
3 内在的な定式化と外在的な定式化
4 微分幾何学の分野
├4.1 ﾘｰﾏﾝ幾何学
├4.2 ｼﾝﾌﾟﾚｸﾃｨｯｸ幾何学
├4.3 複素幾何学､ｹｰﾗｰ幾何学
├4.4 葉層の理論
└4.5 接触幾何学
5 関連項目
微分幾何学における基本的な問題意識は多様体上の微分である｡
これには多様体､接束､余接束､外微分､p-次元部分多様体上のp-形式の積分､ｽﾄｰｸｽの定理､ｳｪｯｼﾞ積､ﾘｰ微分などの研究が含まれることになる｡
これらはみな多変数の微積分と関連しているが､幾何学的な理論に応用するために特定の座標系によらずに意味を持つような形で定式化されなければならない｡
微分幾何学に特徴的な概念によって､二階の導関数の持つ幾何学的な性質､特に曲率の多くの側面が体現されるといえるだろう｡
微分位相幾何学では多様体上の滑らかな構造のみに起因するような構造や性質が調べられる｡
滑らかな多様体は付加的な幾何構造を付与されてしまった多様体よりも柔軟な対象である｡
付加的な構造は微分位相幾何学的には可能な変形や同値関係の存在に対する障害になることがある｡
例えば体積やﾘｰﾏﾝ曲率は一つの滑らかな多様体上の異なった幾何構造を区別する不変量になりうる｡
つまり､多様体を滑らかに｢引き延ばす｣ことができるとしてもそれによって空間が変形されてしまい曲率や体積が影響を受けるということがありうる｡
逆に､滑らかな多様体は位相多様体と比較すればより厳しい構造をもっている｡
ある種の位相多様体は滑らかな構造を持ち得ない（ﾄﾞﾅﾙﾄﾞｿﾝの定理）し､ある種のものは相異なる複数の滑らかな構造を持ちうる（例えば異種球面）｡
滑らかな多様体から得られる構成のうち､接束のように（追加の考察をすることで）位相多様体に対しても実現可能なものもあるが､そうでないものもある｡
19世紀の初めから中頃まで､微分幾何は外在的な視点に立って研究されていた｡
外在的な視点とは､（曲面としてはじめから三次元の空間の中に実現されているものを考えるように）曲線や曲面を､より高い次元のﾕｰｸﾘｯﾄﾞ空間の中におかれたものとして見ることである｡
特に単純な部分は曲線の微分幾何学に関する結果である｡
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