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展開型ｹﾞｰﾑとは?

展開型ｹﾞｰﾑ(Game for extensive form)とはｹﾞｰﾑの表現形式のひとつであり､ｹﾞｰﾑの木と呼ばれるｸﾞﾗﾌの形式で表現されたものである｡
ｹﾞｰﾑの表現形式には展開型と標準型（または戦略型）と特性関数型（または提携型）の3種がある｡
ある非協力ｹﾞｰﾑは展開型でも標準型でも表現できるが､展開型の方が情報量が多い｡
特性関数型は特に協力ｹﾞｰﾑの表現に使われる [1][2][3][4]｡
展開型ｹﾞｰﾑは､ｹﾞｰﾑの木､ﾌﾟﾚｲﾔｰ分割､偶然手番の確率分布族､情報分割､利得関数の5つの要素で記述できる｡

目次

1 ｹﾞｰﾑの木
└1.1 例示
2 情報分割
├2.1 同時手番ｹﾞｰﾑ
├2.2 完全記憶ｹﾞｰﾑ
└2.3 完備情報ｹﾞｰﾑ
3 展開型ｹﾞｰﾑと標準型ｹﾞｰﾑ
4 参考文献
5 関連項目
6 外部ﾘﾝｸ

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ｹﾞｰﾑの木

ｹﾞｰﾑの木は点で示されるﾉｰﾄﾞと2点を結ぶ有向線分である枝とから成る｡
ﾉｰﾄﾞは状態とも呼ばれ､ｹﾞｰﾑのひとつの局面を表す｡
枝は一人のﾌﾟﾚｲﾔｰの意志または偶然による選択により､あるﾉｰﾄﾞから別のﾉｰﾄﾞへ遷移できることを示すもので選択肢(alternative)とも呼ばれる｡
ﾉｰﾄﾞは分岐点と頂点に分けられる｡
頂点はそこから枝が出ていないﾉｰﾄﾞ､すなわちｹﾞｰﾑが終了した局面を示す点であり､各ﾌﾟﾚｲﾔｰの利得(pay off)が与えられている｡
利得は利得関数とも呼ばれ､ﾌﾟﾚｲﾔｰの数だけの成分数を持つﾍﾞｸﾄﾙ量として表せる｡
分岐点は頂点以外のﾉｰﾄﾞであり､手番(move)とも呼ばれる｡
各手番では一人のﾌﾟﾚｲﾔｰの意志または偶然により､その手番から出ている選択肢のひとつが選択されてその先の手番に遷移する｡
偶然により選択がなされる手番を偶然手番と呼ぶ｡
またﾌﾟﾚｲﾔｰ甲の意志で選択がなされる手番を甲の手番と呼ぶ｡ﾌﾟﾚｲﾔｰ分割とは手番の集合を各ﾌﾟﾚｲﾔｰの手番に分割したものである｡偶然手番の確率分布族とは偶然手番での確率分布を定めたものである｡
そこに遷移する選択肢がひとつもない分岐点を底点と呼び､これはｹﾞｰﾑの初期状態､つまり出発局面である｡
以下に｢奇数偶数ｹﾞｰﾑ｣（MorraまたはOdd-or-evenと呼ばれる）を例としてｹﾞｰﾑの木を示す｡
これは､双方が偶数か奇数のどちらかを示し､示された数の和が偶数ならAの勝ちで奇数ならBの勝ちとするｹﾞｰﾑである（外部ﾘﾝｸの英語版wikipedia参照）｡

⇒

図1A.不完全情報ｹﾞｰﾑの木の例｡
点線で囲んだものが情報集合のひとつ｡

⇒

図1B.図1Aの標準型表現｡
同時手番ｹﾞｰﾑの例｡

⇒

図2A.完全情報ｹﾞｰﾑの木の例｡

⇒

図2B.図2Aの標準型表現｡
Bの戦略はAの第1手に対応して4通り｡
Bの第2戦略は必勝戦略である｡

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